Web-studio46.ru

Обучение и образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Олимпиада по математике 9 класс инфоурок

Олимпиада по математике. 9 класс

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Выбранный для просмотра документ #U041e#U043b#U0438#U043c#U043f#U0438#U0430#U0434#U0430 9 #U043a#U043b.doc

Олимпиада по математике. 9 класс

Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

Ответ: 25 рублей.

Решение: Одолженные и возвращенные соседу деньги можно не принимать во внимание. Так как покупатель расплатился фальшивыми деньгами, то продавец понес убыток 25 рублей.

В треугольнике АВС угол А равен 60°, а угол В равен 82°. А D , ВЕ и С F — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АО F .

Решение: одно из возможных обоснований:

1) Рассмотрим треугольник АВ D : угол А D В равен 90°,т.к. А D — высота треугольника АВС, тогда угол ВА D =90°-82°=8°.

2) Рассмотрим треугольник А F О: угол А F О равен 90°,т.к. С F — высота треугольника АВС, тогда угол АО F =90°-8°=82°.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решение: «Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

Каждый юноша в 9 классе играет либо в футбол, либо в хоккей. При этом треть футболистов еще и хоккеисты, а среди хоккеистов футболом увлекается каждый четвертый. Кого среди юношей этого класса больше: увлеченных футболом или увлеченных хоккеем?

Решение: Пусть одновременно футболом и хоккеем в классе увлекаются к человек. Тогда футболистов в классе 3к, а хоккеистов -4к. При этом к ǂ 0, так как футболисты и хоккеисты в классе заведомо есть.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Какие возможны исходы трех бросаний монеты?
1) Решка, решка, решка.
2) Решка, решка, орел.
3) Решка, орел, решка.
4) Орел, решка, решка.
5) Решка, орел, орел.
6) Орел, решка, орел.
7) Орел, орел, решка.
8) Орел, орел, орел.
Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 5-го, 6-го или 7-го события.
Всего возможных исходов — 8.
Благоприятных иcходов — 3.
Отношение 3/8 = 0,375.

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие равное число знакомых в этой компании (если A знаком с B, то и B знаком с A).

Пусть в компании k человек. Тогда каждый человек может иметь от нуля до (k – 1) знакомых. Предположим противное: количество знакомых у всех разное. Тогда найдется человек без знакомых, найдется человек с одним знакомым, и так далее, наконец, найдется человек, у которого (k – 1) знакомых. Но тогда этот последний знаком со всеми, в том числе и с первым. Но тогда у первого не может быть ноль знакомых. Получили противоречие.

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.

Есть только один треугольник, в котором угол 20 град. лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20 град. , а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20 град.). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника. Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник. Итак, мы получили всего 4 треугольника.

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Читать еще:  Уроки английского языка москва

Решение: Опишем стратегию первого игрока.

Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х ) нечетное число от 1 до 99).Так как 2005=101 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Олимпиада по математике 9 класс

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2019-2020 ГГ.

1. Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических действий и запятой. (3 балла )

2. В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети,
Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть -Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше? (5 баллов)

3. Сколько цифр содержит число 4 5 . 5 13 ? (5 баллов)

4. Постройте график функции:

5. В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а биссектриса угла А перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В. Известно, что сторона АВ = 3. Найдите периметр треугольника АВС. (5 баллов)

6. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник? (5 баллов)

Решение олимпиадных заданий 9 класса

1. Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических действий и запятой.

Решение: 44,4 : 4 — 4,4 : 4 = 10

2. В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети,
Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть -Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?

Чтобы Дед Мороз мог отдать половину подарков Пете, общее количество подарков в его мешке должно делиться на 2. Также, поскольку он отдал
пятую часть Васе, а седьмую часть Боре, общее количество подарков должно
делиться на 5 и на 7. Таким образом, количество подарков должно делиться на НОК (2 ; 5 ; 7) = 2 · 5 · 7 = 70 . По условию задачи количество подарков меньше ста, поэтому их может быть только 70. Тогда Пете он отдал 70 : 2 = 35 подарков, Васе — 70 : 5 = 14 подарков, а Боре — 70 : 7 = 10 подарков. Таким образом, Лёше он отдал 70 35 14 10 = 11 подарков.

3. Сколько различных цифр содержит число 4 5 . 5 13 ?

4 5 . 5 13 = (2 10 . 5 10 ) . 5 3 =10 10 . 5 3 =1250000000000

4. Постройте график функции:

После преобразования получаем функцию у = 0,25 х, при х Є (-∞; 3 ) U (3; +∞ ).
Ответ: прямая у = 0,25 х , с выколотой точкой (3; 0,75).

5. В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а биссектриса угла А перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В. Известно, что сторона АВ = 3. Найдите периметр треугольника АВС.

Пусть АМ – медиана, проведённая из вершины А. Тогда в треугольнике ABM биссектриса угла В перпендикулярна стороне AM , т. е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB = BM = 3. Но, тогда ВС = 2 BM = 6. Аналогично из второго условия получаем, что сторона АС в два раза больше АВ, т. е. периметр треугольника АВС равен 3+ 6 + 6 = 15.

Вместе первый и второй мальчики купили пенал, 2 ластика и карандаш, заплатив 52 рубля за всю покупку. Так как третий мальчик заплатил 50 рублей за пенал, 2 тетради и карандаш, то ластик стоит дороже тетради на 1 рубль. Тогда так как пенал и ластик стоят 40 рублей, то пенал и тетрадь будут стоить 39 рублей.

Олимпиада по математике 9 класс

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Школьный этап Всероссийской олимпиады

школьников по математике.

1 . Чему равно число, если 3% его составляют 9,6? (2 б)

2 . В трапеции ABCD AC–биссектриса ∠ A, ∠ ACB = ∠ ADC. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны AB = 25, CD = 30. (3 б)

3 . Произведение делимого, делителя и частного равно 120. Может ли делимое быть целым числом? (5 б)

4 . Оля и Коля загадали по трёхзначному числу. Каждый поделил своё на произведение его цифр и получил 5. Могли ли они загадать разные числа? (5 б)

5 . Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было? (5б.)

Общее максимальное количество баллов — 20

В представленном решении обоснованно получен верный ответ-2 балла

Читать еще:  Уроки рисования дома для начинающих

Получен верный ответ, но он не достаточно обоснован-1 балла

Неверное решение и ответ, или нет ответа-0 баллов

Решение: Замети, что ∠ ACB= ∠ CAD как накрест лежащие. Тогда треугольники ∆ABC и ∆ACD–равнобедренные и подобные друг другу.

Тогда AB= BC= 25, AC= CD= 30, из пропорции AC/AB= AD/AC получаем AD=36. Имея все три стороны треугольника ∆ACD, легко вычислить по теореме Пифагора высоту-медиану CH= 24. Площадь S= (25+36)∙24/2=732.

В представленном решении обоснованно получен верный ответ-3 балла

Получен верный ответ, но он не достаточно обоснован-2 балла

В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу-1 балл

Неверное решение и ответ, или нет ответа-0 баллов

Решение: Так как произведение делителя и частного равно делимому, то произведение делимого, делителя и частного равно квадрату делимого. То есть делимое равно √120 – нецелое число.

В представленном решении обоснованно получен верный ответ-5 баллов

Получен верный ответ, но он не достаточно обоснован-4 балла

В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу-3 балла

Решение не доведено до конца-2 балла

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения

(или при ошибочном решении)-1 балл

Неверное решение и ответ, или нет ответа-0 баллов

4. Ответ: единственное искомое число –175

Первое решение. В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трехзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на 5, должно делиться на 25. Заметим, что четных цифр в записи числа быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю. Таким образом, трехзначное число должно делиться на 25 и не содержать четных цифр. Таких чисел только пять: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведение цифр искомого числа должно быть меньше 200, иначе, умноженное на 5, даст четырехзначное число. Поэтому числа 775 и 975 заведомо не подходят. Среди оставшихся трех чисел только 175 удовлетворяет условию задачи.

Второе решение. Заметим (аналогично первому способу решения), что последняя цифра искомого числа –5. Пусть a, b, 5 –последовательные цифры искомого числа. По условию задачи имеем: 100a + 10b + 5 = a·b·5·5. Поделив обе части уравнения на 5, получаем: 20a + 2b + 1 = 5ab. После вычитания из обеих частей равенства 20а и вынесения за скобки общего множителя в правой части, получаем: 2b + 1 =5a(b –4a). Учитывая, что a и b могут принимать натуральные значения от 1 до 9, получаем, что возможные значения а –только 1 или 2. Но а=2 не удовлетворяет равенству , в левой части которого нечетное число, а в правой при подстановке а=2 получается четное. Итак, единственная возможность а=1. Подставив это значение , получаем: 2b + 1 = 5b –20, откуда b=7.

В представленном решении обоснованно получен верный ответ-5 баллов

Получен верный ответ, но он не достаточно обоснован-4 балла

В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу-3 балла

Решение не доведено до конца-2 балла

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения

(или при ошибочном решении)-1 балл

Неверное решение и ответ, или нет ответа-0 баллов

4. Ответ: в семёрку стрелок попал 1 раз, в восьмёрку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Решение: Так как десяток было четыре, то на оставшиеся 6 выстрелов приходится 50 очков. Поскольку стрелок попадал лишь в семёрку, восьмёрку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семёрку, восьмёрку и девятку) он наберёт 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела ему нужно набрать 26 очков, что возможно при единственной комбинации 8  9  9  26 . Итак, в семёрку стрелок попал 1 раз, в восьмёрку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

В представленном решении обоснованно получен верный ответ-5 баллов

Получен верный ответ, но он не достаточно обоснован-4 балла

В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу-3 балла

Решение не доведено до конца-2 балла

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения

(или при ошибочном решении)-1 балл

Неверное решение и ответ, или нет ответа-0 баллов

Задания по математике для школьного этапа олимпиады 9 КЛАСС.
олимпиадные задания по математике (9 класс)

Задания для школьного этапа олимпиады по математике ( 9 класс).

Скачать:

Предварительный просмотр:

Одной из важнейших задач Олимпиады на начальных этапах является развитие

интереса у обучающихся к математике, формирование мотивации к систематическим

занятиям математикой на кружках и факультативах, повышение качества математического

образования. Важную роль здесь играет свойственное подростковому периоду стремление к

состязательности, к достижению успеха.

В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся , в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету. Число мест в классах (кабинетах) должно обеспечивать самостоятельное выполнение заданий олимпиады каждым участником.

Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6 классов – 2 урока, для 7-8

классов – 3 урока, для 9-11 классов – 3-4 урока.

После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ

участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем

несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри школьной

Читать еще:  Расписаний урок юпк города югорск

олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по

работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается

По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели.

Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов в своей

параллели, признаются победителями школьного этапа Олимпиады.

Проверка и оценивание олимпиадных работ

Для единообразия проверки работ Участников в разных школах необходимо включение в варианты заданий не только ответов и решений заданий, но и критериев оценивания работ. Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах 7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от начального уровня до Международной математической олимпиады. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником. Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на

Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не

рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после

небольших исправлений или дополнений.

Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

Помимо этого необходимо учесть, что:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

Задания по математике для школьного этапа олимпиады

9.1. Петя в сутки тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

9.2 . Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических

действий и запятых.

9.3.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

Решения (9 класс)

9.1. Петя в сутки тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.

9.2 . Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических

действий и запятой.

Например : 44,4:4 – 4,4:4 = 10

9.3 Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

1 и 2 мальчик — купили пенал, 2 ластика и карандаш = 52 рубля.

3 мальчик – 50 рублей – пенал, 2 тетради и карандаш ластик

дороже тетради на 1 рубль. Пенал и ластик – 40 рублей;

пенал и тетрадь – 39 рублей.

9.4 В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX . Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC . Получаем, что ∠ AXB = ∠ XBA , откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.

Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector